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分式的難點篇一

專題12分式函數2011.7

【學習目標】

1、熟悉分式函數的代數和幾何特征，掌握分式函數的單調性、最值的求法；

2、能數形結合地處理分式函數、基本不等式等相關的問題.【例題選講】

例1 已知函數y?b

x?a（為常數，且a?0，b?0），求

（1）圖像所經過的象限；

（2）它的對稱中心；

（3）單調區間.例2 討論f(x)?ax?b

x（a?0,b?r,b?0）的單調性.（1）設x?1，求函數f(x)?x

2例2x?3的最大值；

（2）函數f(x)?2 x2

（3）函數y??2

x在[1,3]上的最大值與最小值；

（4）若不等式x2?ax?1?0對于x?(0,12)恒成立，求a的范圍.【課后習題】

1、函數y?2x?

1x?3的值域為__________.2、函數f(x)?x?a

x(a?0)的單調遞增區間__________.3、函數f(x)?x?m

m?1?x的對稱中心是(3,n)，則m?2n?________.4、函數y?b

x?a（a、b為常數，且a?0，b?0）的圖像所經過的象限是__________.5、設x?1，則函數f(x)?x

2x?1的最小值是___________.6、已知f(x)?x?

52x?m的圖像是直線y?x對稱，則m?__________.7、設函數f(x)??x

1?|x|(x?r)，區間m?[a,b]，集合n?{y|y?f(x),x?m}，則使m?n成立的實數對(a,b)有________個.8、設函數f(x)?2x?

1x?1(x?0)，則f(x)（）

a．有最大值；b．有最小值；c．是增函數；d．是減函數.9、函數y?x

x?1(x??1)的反函數是（）

a．y?x b．y??x

x?1(x?1)；x?1(x?1)；

c．y?x?

1x(x?0)；d．y?1?x

x(x?0).10、關于問題“函數f(x)?

x(???

??)的最大值、最小值與函數

g(x)?x?z)的最大值與最小值”，下列說法正確的是（）

a．f(x)有最大、最小值，g(x)有最大、最小值；

b．f(x)有最大、最小值，g(x)無最大、最小值；

c．f(x)無最大、最小值，g(x)有最大、最小值；

d．f(x)無最大、最小值，g(x)無最大、最小值.-2-

11、設x?

0，若函數f(x)?a的取值范圍并求出此最小值.12、設f(x)?x?a

x?1(a?r)，x?[0,??)，求f(x)的最小值.13、已知函數f(x)?x2?a

x(x?0,a?r)，（1）判斷函數f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在區間[2,??)是增函數，求實數a的取值范圍.14、若函數f(x)?x?2

x?1的圖像是由函數y?g(x)的圖像由右平移2個單位，再向下平移

1個單位所得

求：（1）函數g(x)的解析式；（2）y?g(x)的對稱中心.

分式的難點篇二

關于y=f（x）=x^2/1+x^2函數求值問題

如果記y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示當x=1時y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示當x=1/2時y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（結果用含n的代數式表示，n為正整數）

解：

因為f（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

分式的難點篇三

函數與導數專題（文）

分式函數

2x?11．函數f?x??x的值域為2?1

說明：引出分式函數基本做法，突出對勾形式函數f(x)?x?

質。

2．（浙江卷文8）若函數f(x)?x?2a(a?r)的圖象與基本性xa(a?r)，則下列結論正確的是x

a．?a?r，f(x)在(0,??)上是增函數

b．?a?r，f(x)在(0,??)上是減函數

c．?a?r，f(x)是偶函數

d．?a?r，f(x)是奇函數

t2?4t?13．【2010·重慶文數】已知t?0，則函數y?的最小值為____________.t

x2?3x?3,(x??1)的值域為變式練習：①函數f?x??x?1

②函數f?x??

③函數f?x??

4．【2010·天津文數】設函數f(x)=x-

則實數m的取值范圍是________.?x?y?2?05．動點p(a,b)在不等式組?表示的平面區域內部及其邊界上運動，則??a?b?3的取值范圍?x?y?0a?1?y?0?x?1,(x??1)的值域為2x?3x?3sinx?cosx?1???,x??0,?的值域為2sinxcosx?2?1,對任意x?[1,??），f(mx)+mf(x)<0恒成立，x

是．

例題1：經市場調查，某旅游城市在過去的一個月內（以30天計），日旅游人數f(t)（萬人）與時間t（天）的函數關系近似滿足f(t)?4?1，人均消費g(t)（元）與時間（的函數關系近似滿足g(t)?115?|t?15|.t天）

t

（ⅰ）求該城市的旅游日收益w(t)（萬元）與時間t(1?t?30,t?n)的函數關系式；

（ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬元）

例題2：【2010·江蘇卷】將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，2(梯形的周長）其中一塊是梯形，記s?,求s的最小值。梯形的面積

【解析】考查函數中的建模應用，等價轉化思想，一題多解.設剪成的小正三角形的邊長為x，則：s?2(3?x)2

?(0?x?1)21?x方法一:利用導數求函數最小值

.(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，s?(x)? s(x)?222(1?

x)1?

x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3)??2222(1?x)(1?x)1s?(x)?0,0?x?1,x?，3

11當x?(0,]時，s?(x)?0,遞減；當x?[,1)時，s?(x)?0,遞增； 33

故當x?1時，s的最小值是。33

方法二:利用函數的方法求最小值.t211112?令3?x?t,t?(2,3),?

(,)，則：s? 86t32?t?6t?8???1t2t

故當?

1t31,x?時，s

.83

分式的難點篇四

東莞市莞城藍天名師課外輔導中心

7、對勾函數y?x?

a

0),(0，??)上為增函數 是奇函數,a?0時,在區間(??，x

a?0時,在(0a],[?a,0)遞減 在(??，?a],[,??)遞增

8.分式函數

典例分析

1．(2007海南、寧夏理)設函數f(x)?2．（2009重慶卷理）若f(x)?3若函數h(x)?2x?

a．[?2,??)

(x?1)(x?a)

為奇函數，則a?．

x

?a是奇函數，則a?． 2x?

1（）

kk

?在(1,??)上是增函數，則實數k的取值范圍是 x

3b．[2,??)

c．(??,?2]

d．(??,2]

4.（2009全國卷ⅱ理）曲線y?

x

在點?1,1?處的切線方程為 2x?1

a.x?y?2?0b.x?y?2?0c.x?4y?5?0d.x?4y?5?0

ax?1?4?

a???的圖象關于直線y?x對稱，則a=。

4x?5?5?

x

2(x?r)的值域是 6.（2007浙江文）函數y?2

x?1

7.（2002全國理科）函數

y?1?的圖象是（）

5.若函數y?

ex?e?x(2009山東)函數y?x的圖像大致為().?x

e?e

d

a

9.（12分）函數f(x)?2x?

a的定義域為(0,1]（a為實數）.x

（1）當a??1時，求函數y?f(x)的值域；

（2）若函數y?f(x)在定義域上是減函數，求a的取值范圍；

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10.（13分）已知函數f(x)的圖象與函數h(x)?x?解析式（2）若g(x)=f(x)+

1?2的圖象關于點a（0，1）對稱.（1）求函數f(x)的xa，且g(x)在區間（0，2]上的值不小于6，求實數a的取值范圍.x

x?a（a、b為常數）.x?b

⑴若b?1，解關于x的不等式f(x?1)?0；

5⑵當x?[?1,2]，f(x)的值域為[,2]，求a、b的值.411、（2009重慶八中）已知函數f(x)?

x2?(1?p)x?p(p?0)

12、（2009西南師大附中）已知f(x)?2x?p

（1）若p > 1時，解關于x的不等式f(x)?0；

（2）若f(x)?2對2?x?4時恒成立，求p的范圍．

分式的難點篇五

分式函數值域解法匯編

甘肅省定西工貿中專文峰分校 張占榮

函數既是中學數學各骨干知識的交匯點，是數學思想，數學方法應用的載體，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數以及函數圖象。而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環節形式出現，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一。為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環，值得探討。下面就本人對分式函數值域的教學作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關概念

函數值是指在函數y＝f(x)中，與自變量x的值對應的y值。

函數的值域是函數值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定；當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定。

分式函數是指函數解析式為分式形式的函數。

二、分式函數的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關于自變量x（或參數）的一次函數的分式函數。

1.y=(a0)型

例１ 求函數y=的值域。

解法一：常數分離法。將y=轉化為y=（k1,k2為常數），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數法。利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。

解：反解y=得x=，對調 y=（x)，∴函數y=的值域為

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數的一次分式函數，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名。可以考慮借助三角函數值域解題，其實質跟y=（t=sinx）在t的指定區間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數的值域為[，0]。

總結：求一次分式函數的值域，首先要看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上；其次用反函數法解題；再次還要注意含三角函數的分式函數，其實質是在指定區間上求分式函數的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關于x的二次函數。由于出現了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數、方程三者相互聯系，可以相互轉化。所以可考慮將其轉化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈r型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數y的二次方程f(x)=0。由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數y的二次方程f(x)=0,根據判別式

即可求出值域。

例４ 求函數y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當y＝0時，x＝0，當y≠0時，由△≥0得-

∵函數定義域為r，≤y≤。

∴函數y＝的值域為[-，]。

說明：判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區間上求二次函數的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域。可以考慮使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數的值域為。-4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數的單調性求值域。

解：用單調性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數y=t+ 在t≥2上單調遞增。

∴當t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數的值域為。

總結：不管是求一次分式函數，還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結分式函數值域解法

求函數的值域是高中數學的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結，盡最大可能地尋找不同類型分式函數求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數法。反函數法是求一次分式函數的基本方法，是利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數的基本方法之一，即先去分母，把函數轉化成關于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數的值域。需注意的是判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈r＋)，是在指定區間上求二次分式函數的基本方法之一，當二次分式函數在指定區間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復合型分式函數值域的常用方法。當分式函數的分子或分母出現子函數（如三角函數）時，可考慮用換元法，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調性法。單調性法是通過確定函數在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性求出函數的值域的方法。

另外，還可以根據函數的特點，利用數形結合或求導數的方法求分式函數的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明